Kalkulus
1
BILANGAN REAL
Sebelum
membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali
tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan
himpunan atau kelas atau koleksi dari obejk-objek yang didefinisikan dengan
jelas. Misalnya himpunan huruf kapital yang tediri dari A, B, C, D, ...., Z.
Setiap karakter A, B, C, D, ..., Z yang termasuk di dalam himpunan huruf
kapital tersebut dinamakan anggota atau elemen dari himpunan yang dimaksud.
Beberapa himpunan yang seluruh anggotanya terdapat dalam himpunan huruf kapital
tersebut, misalnya himpunan A, B, C, disebut dengan subset atau himpunan bagian
dari A, B, C, ..., Z. Suatu himpunan yang tidak memiliki elemen disebut
himpunan kosong yang dinotasikan dengan
∅
atau { }
1.
System bilangan real
Berkut ini
diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real.
a.
Himpunan bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan ā= {1, 2, 3, ...}.
Bilangan asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa
juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.
b. Himpunan bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan dengan
ā¤= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
c. Himpunan bilangan rasional; misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan
dengan ā. Secara umum, bentuk bilangan rasional dituliskan sebagai ā= {m/n|m,n Ń ā¤, dan n≠0}
d. Himpunan bilangan irasional; misalnya {√2, √5, Ļ,
dsb} merupakan
bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam
bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n ≠ 0.
Himpunan bilangan real sendiri dinotasikan dengan ā merupakan
kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat digunakan untuk
mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut, dan nol.
Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untuk titik-titik yang berada di
sepanjang sebuah garis bilangan. Di situ, bilangan-bilangan ini mengukur jarak
ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0). Walaupun
mustahil untuk menampilkan seluruh label tersebut, tetapi setiap titik pada
dasarnya mempunyai sebuah label bilangan real yang unik.
Bilangan yang dimaksud dinamakan koordinat dari titik tersebut dan garis
koordinat yang dihasilkan disebut garis real
2.
Operasi pada Bilangan Real
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan
real. Maka berlaku sifat berikut:
a.
Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
Hasil operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat real.
b.
Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian a
+ b = b + a dan ac = ca
c.
Assossiatif terhadap penjumlahan dan perkalian
a + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)
d.
Distributif a(b + c) = ab + ac
e.
Memiliki elemen identitas (0 adalah elemen
identitas terhadap penjumlahan, dan 1 adalah elemen identitas terhadap
perkalian). a + 0 = 0 + a = a, dan 1a = a1 = a
f.
Memiliki invers
Terhadap
penjumlahan; Untuk setiap a ∈ ā terdapat x ∈ ā sedemikian sehingga x + a = a + x = 0.
Dalam hal ini x = -a. Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi
penjumlahan adalah –a.
Terhadap
perkalian; Untuk setiap a ∈ ā terdapat x ∈ ā sedemikian sehingga x a = a x = 1.
Dalam hal ini x =1/2. Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi
Perkalian adalah 1/a.
Dari sifat
bilangan real tersebut maka didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian
sebagai a–b= a + (-b) dan a/b = ab-1
3. Pertidaksamaan
dan Nilai Mutlak
3. 3.1. Pertidaksamaan
Jika a–b adalah bukan bilangan negatif, maka a
lebih besar atau sama dengan b, ditulis a ≥ b, atau b lebih kecil dari atau
sama dengan a, ditulis b ≤ a. Jika bilangan tersebut selain a = b, maka a >
b atau b < a. Secara geometri, a > b jika koordinat a berada di sebelah
kanan dari koordiat b.
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka
berlaku sifat berikut: a.
a .
Trikotomi
Tepat satu diantara yang berikut ini berlaku:a >
b, a = b, atau a < b.
b .
Transitif
Jika a > b dan b > c maka a > c
c .
Penambahan
Jika a > b maka a + c > b + c
d .
Perkalian
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc
Menyelesaikan
suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat
pertidaksamaan tersebut menjadi suatu pernyataan yang benar. Berbeda dengan
persamaan yang himpunan penyelesaiannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau
mungkin sejumlah berhingga bilangan saja, himpunan penyelesaian suatu
pertidaksamaan biasanya terdiri dar suatu keseluruhan interval bilangan atau
dalam beberapa kasus gabungan dari interval-interval yang demikian.
Pertidaksamaan
a < x < b menunjukkan interval terbuka, dinotasikan dengan (a, b), yang
terdiri dari semua bilangan antara a dan b tidak termasuk a dan b. sementara a
≤ x ≤ b menunjukkan interval tertutup, dinotasikan dengan [a, b], yang terdiri
dari semua bilangan antara a dan b termasuk a dan b itu sendiri. Selengkapnya perhatikan
beberapa beberapa permisalan berikut:
Contoh;
Selesaikan pertidaksamaan 2x–7 < 4x–2 dan perlihatkan grafik
himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian:
2x – 7 < 4x –2
⇔2x < 4x + 5 (kedua ruas ditambahkan 7)
⇔-2x < 5
(keduua ruas ditambahkan (-4x))
⇔ x >
-5/2 (kedua ruas dikalikan (-1/2)) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x
> -5/2}. Notasi intervalnya adalah (-
5/2, ∞). Grafik himpunan penyelesaiannya adalah
sebagai berikut
Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalamproses perkalian dan pembagian, tetapi tidak sama halnya dengan proses penambahan dan pengurangan. Perhatikan sifat-sifat nilai mutlak berikut:
a.
|ab| = |a|
|b|
b.
|a/b|=|a/b|
c.
|a + b| ≤
|a| + |b|
d.
|a–b| ≥ ||a|
–|b|| e.
Pertidaksamaan
yang melibatkan nilai mutlak:
Ć |x| < a ⇔-a < x
< a
Ć |x| > a ⇔ x < -a
atau x > a
Contoh 2.
Tentukan
himpunan penyelesaian dari |x –4| < 2.
Penyelesaian:
|x–4| < 2
⇔-2 < x –4 < 2
⇔-2 + 4 < x < 2 + 4
⇔2 < x < 6 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x |
2 < x < 6} atau (2, 6)
Komentar
Posting Komentar